数据库理论(四)——数据库规范化与模式分解

部分函数依赖

函数依赖的确定

  1. 1对1的关系时，有两个函数依赖
  2. 1对多时，有一个函数依赖
  3. 多对多时，没有函数依赖

函数依赖类型

右边不为左边的子集{非平凡函数依赖（A−>B），yes平凡函数依赖(AB−>B)，no左边有子集能决定右边{部分函数依赖,yes完全函数依赖,no右边不为左边的子集 \begin{cases} 非平凡函数依赖（A->B），yes \\ 平凡函数依赖(AB->B)，no \end{cases}\\ 左边有子集能决定右边 \begin{cases} 部分函数依赖,yes\\ 完全函数依赖,no \end{cases}

传递函数依赖A->B,B->C，此时A—>C就是传递函数依赖

码和主属性

候选码：能够唯一决定一个元组的属性集叫做码

主属性：码里的属性就叫主属性

非主属性：不在码里的属性

超键：码或子集是码的属性集合

候选码求取理论

根据函数依赖，把属性分成四类

L:只在函数依赖左侧

R：只在函数依赖右侧

LR：函数依赖两侧

N:没有出现过的

L、N属性是候选码的子集，若L、N属性的闭包能涵盖全部的元素，则其是唯一候选码

若不能，则从LR元素中于L、N元素进行组合，组合后的元素集的闭包能够涵盖全部元素，即为候选码。

1NF

正经话：若关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。

通俗话：能写出来的二维表都叫第一范式

2NF

定义：若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码

不存在非主属性对码的部分函数依赖（传递函数依赖）

如果全是主属性，也是2NF

分解算法

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R(A,B,C)
A,B->C,A->C

先求个码：
L：A,B    R:C
N：空		LR：空
所以码是AB
主属性是A,B
C是非主属性且A->C,存在非主属性对码的部分函数依赖
于是将关系R分解为R1(A,B)和R2(A,C)，去除部分函数依赖

3NF

对每个非平凡依赖，或左边为超键，或右边全部由主属性构成

推论：每一个非主属性，既不部分依赖于码，也不传递依赖于码

分解算法

对所有函数依赖，先将函数依赖集化成最小函数依赖集,只要左边相同，就把他们合并起来，形成的集合作为符合3NF的一个属性集。

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例子：
A->B,AB->C,D->AC,D->E

最小函数依赖集：
第一步：先把右边有多个的拆成右边只有一个的
A->B,AB->C,D->A,D->C,D->E
第二步：去除左边的冗余项
因为A->B,AB->C冗余了，所以有B->C
结果为：A->B,B->C,D->A,D->C,D->E
第三步：去除传递函数依赖
D->A->B->C,去除D->C
最终结果为：
A->B,B->C,D->A,D->E


开始3NF的分解
第一步：
找候选码
L：D   R：C,E
N:     LR:A,B
对D求闭包，最终能够包含全部元素集合，因此D是该元素集合的唯一候选码
第二步：于是遵循左部相同合并原则，对其进行合并，形成属性集
R1={A,B}
R2={D,A,E}
R2={B,C}
第三步：查看上述集合有没有包含关系，如果有就吸收合并
显然上面没有
第四步：看分的属性组中有没有包含码，如果有就是无损且保持函数依赖的3NF，没有包含就不是无损且保持函数依赖的3NF，就添加一个属性组，把原来关系的码加进去
最终得到结果为：
R1={A,B}
R2={D,A,E}
R2={B,C}
这三个关系集上的函数依赖均满足3NF的要求

投影算法

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假设有关系R(A,B,C,D,E)和FD集{AB->DE,C->E,D->C,E->A},假设要把这些FD投影到S(A,B,C)，求出在S上成立的FD集合

第一步：将原来的FD转换成右边只有一个的情况
AB->D,AB->E,C->E,D->C,E->A
第二步：通过直接观察，或传递依赖，找到S(A,B,C)上的函数依赖
AB->D->C 即AB->C
C->E->A 即C->A
所以在S上成立的FD集合为{AB->C,C->A}

BCNF

对于任意一个函数i依赖，左边全为超键，即左边永远能退出整个属性集合。

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例子，沿用上一题化最小函数依赖集的结果
A->B,A->C,D->A,D->E

A->B不符合BC范式的要求
对A进行闭包，形成属性集R1 =(A)+={A,B,C}
属性集R2为：U-R1+{A} = {A,D,E}

在R1中的最小函数依赖集为：A->B,A->C ,此时A为这个属性集R1{A,B,C}的码，并且满足BCNF的要求，分解停止
在R2中的最小函数依赖集为：D->A,D->E,此时D为这个属性集R2{A,D,E}的码，并且满足BCNF的要求，停止分解

最终分解成两个属性集：
R1{A,B,C}
R2{A,D,E}
这两个关系集上的函数依赖均满足BCNF的要求，同时也满足3NF的要求。

无损连接的chase检查法

直接上例子

用上面的：

R(A,B,C,D,E)

A->B,A->C,D->A,D->E

R1(A,B,C)

R2(A,D,E)

这个直接列表，每个属性集一行，每行|R|个属性

属性集 A B C D E
{A,B,C} a b c d1 e1
{A,D,E} a b2 c2 d e

在属性集中的元素，就可以直接用小写字母表示，否则则用，小写字母+下标行号表示

根据函数依赖，如果左边的值在表中对应列的值是一致的，右边也应该一致，如果不一致，就向行号小的同步。

如A->B,A列一致，则需要使得B也一致

属性集 A B C D E
{A,B,C} a b c d1 e1
{A,D,E} a b c d e

A->C,A列一致，则C列也应该一致

此时第而行中的数据全为小写字母，这时候就能说明，这种分解方式是无损的。

某个函数依赖的闭包是否属于函数依赖集的闭包

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设有关系R(A,B,C,D,E)，对应的函数依赖集F={AB->D, AC->E, BC->D, D->A, E->B}，
判定
1.函数依赖AE->CD 是否属于F+?▁▁▁(填是或否)
2.函数依赖CD->BE 是否属于F+？▁▁▁(填是或否)

对左边，根据F的函数依赖求闭包，如果左边的闭包 包含{左边+右边}则，说明该函数依赖属于F+

第一题：
(AE)+ = {AEBD} 不包含 {AECD}，所以AE->CD不属于F+
第二题：
(CD)+ = {CDAEB} 包含{CDBE}，所以CD->BE属于F+